Eratóstenes. Medida de la circunferencia de la Tierra

Eratóstenes.Medida de la circunferencia de la Tierra

Eva Gussoni, María de Andrés y Guiomar Jiménez de Cisneros.

Hace miles de años, Erátostenes hizo un experimento para demostrar que la tierra era redonda, y midió el radio terrestre. Hace 2290 años no existía ningún tipo de tecnología, ni de patrones de medida exactos, aun así Eratóstenes consiguió medir el radio de la tierra con un error relativamente pequeño, teniendo en cuenta las condiciones con que lo calculaba.

Nosotros, en el año 2014, vamos a intentar reproducir esta experiencia, y ver si somos capaces de cometer menos error que el sabio también llamado beta.

En el siguiente video, explican cómo se hizo por primera vez.

http://youtu.be/UeIQnjOEGUY

Todo el proceso que detallaremos a continuación será para hallar solo una parte de los datos, es decir la sombra desde un punto de la tierra. Para poder hacer los cálculos, nos pondremos en contacto con otro centro que haya realizado el mismo proyecto, el mismo día y que esté más o menos en el mismo meridiano, y a partir de ahí podremos hacer las proporciones y calcular cuánto mide el radio terrestre.

Proceso seguido:

El día 25 de septiembre, hicimos la toma de medidas. El material usado fue:

• Un recogedor con una altura de palo de 77,76 cm y un diámetro de de 2cm.
• Un reloj para apuntar las medidas cada 5 min.
• Un rollo de papel “mantel” para recoger las medidas.

Nuestro objetivo era medir la sombra mínima de nuestro gnomon. Para ello, recogimos la medida de la sombra del gnomon cada 5 minutos durante 3 horas, para luego poder trazar la parábola que más o menos los uniese a todos los puntos.

Al terminar la toma de datos y después de haber unido los puntos, necesitábamos saber la distancia que había entre el gnomon y el punto mínimo de la parábola. Para evitar errores, con los datos de cada grupo, haremos un  promedio.

También compararemos los valores experimentales con los valores teóricos:

Datos de ambos centros:

Colegio Base

Aragón:

Hemos realizado los cálculos con un colegio de Aragón.

Altura nuestro gnomon 77,76 cm

diámetro de gnomon 2cm

Sombra 71,11 cm

distancia entre Colegio Base y Aragón: 319 km

Distancia entre el Colegio Base y el Ecuador:4939 Km.

Procedoimientos

Para calcular la tangente primero hemos calculado las tangentes de ambos ángulos, cuyo resultado es de aproximadamente 47 grados. Luego hemos calculado la distancia lineal entre ambos puntos que es de 4970 Km.

Ahora aplicamos la fórmula que se nos ha proporcionado.

Si de esta fórmula despejamos el perímetro de la tierra nos da un resultado de aproximadamente 38.068 Km. Con este dato podemos calcular el radio de la tierra.

P=2π·r

r=P/2·π=6.058 Km

Los cálculos no nos han salido muy exactos debido a posibles errores experimentales y de cálculo. Nuestro error absoluto ha sido de  313 km.

Nuestro error relativo ha sido de un  casi 5%.

Aquímedes. El principio fundamental de la hidrostática

En este trabajo vamos a explicar una serie de experimentos con los que queremos demostrar el principio fundamental de la hidrostática de Arquímedes. Respondemos a las preguntas del blog de nuestro profesor http://cbasefis4eso.blogspot.com.es/ .

1.- Describe las cualidades o características de los siguientes instrumentos de medida:

Dinamómetro:

El dinamómetro es un instrumento utilizado para medir fuerzas o para

pesar objetos. Fue inventado por Isaac Newton y basa su funcionamiento en el estiramiento de un resorte que sigue la ley de Hook.  

El dinamómetro se considera un instrumento rápido ya que tarda pocos segundos en obtener las medidas. Este instrumento es bastante sensible ya que una mínima fuerza ya suele marcarse en el dinamómetro. Es un instrumento también bastante preciso, ya que su mínima medida es de 0,1 Newton y por lo tanto con la vista podríamos medir la mitad, es decir, 0,05 Newtons. Aún siendo un instrumento muy preciso podría no ser muy exacto. Evidentemente al repetir las medidas de un mismo objeto en las mismas condiciones las fuerzas no van a cambiar(al menos no significativamente) pero hay otros factores que también influyen(el peso de la cuerda, la temperatura,la presión etc) que pueden variar sin que nos demos cuenta.  

La Báscula:

La báscula es un instrumento que sirve para pesar(para determinar el peso) de un objeto.Al funcionar por muelle elástico, estas básculas miden la fuerza ejercida por un objeto sujeto a la fuerza de gravedad,es decir, el peso.

Estas básculas son muy rápidas ya que prácticamente en seguida te calculan el peso del objeto.Esta báscula tiene una precisión de 0,5 gramos. Al ser digital no podemos calcular la mitad de esta medida por medio de la vista.Además este tipo de básculas no suelen ser especialmente sensibles, ya que necesitan un mínimo de peso para empezar a medir. En cuanto a la exactitud podríamos decir que son instrumentos bastante exactos. Si no cambiamos factores como la gravedad o la presión que se ejerce sobre el cuerpo que es pesado, al repetir el experimento nos saldría la misma medida.

El Calibre:

El calibre

Es un instrumento sumamente delicado y debe manipularse con habilidad, cuidado y delicadeza.

dir hasta 1 mm

2.- ¿Cuáles son las unidades en las que se miden el peso, la masa y el volumen? ¿Cuál/cuáles son magnitudes fundamentales y cuál/cuáles son derivadas? Expresa la ecuación de dimensiones en el/los caso/s que proceda.

En estos experimentos hay tres magnitudes que debemos tener muy en cuenta. Estas son el peso o fuerza(medida en Newtons), la masa(medida en Kg) y el volumen(medido en m3  )

La masa se trata de una magnitud fundamental, mientras que el volumen y el peso o fuerza son magnitudes derivadas. Mediante las magnitudes fundamentales se forman las magnitudes derivadas. Estas magnitudes derivadas pueden expresarse en ecuaciones de dimensiones, una herramienta que simplifica el estudio de algún fenómeno.

En el caso del volumen, su análisis dimensional sería L3 , es decir, longitud al cubo. En cambio el análisis dimensional del peso o fuerza sería M·L2 ·T-2 ,(masa por longitud al cuadrado partido de tiempo elevado al cuadrado) Aun que estas no sean las unidades con las que se midan normalmente estas magnitudes, el análisis dimensional si que nos explica como se han formado estas magnitudes derivadas a partir de las fundamentales.

3.- Calculad la masa de las esferas aplicando la ecuación para el peso P=mg (tomando g= 9.8 m/s^2). Prestad atención a las cifras significativas que utilizáis, utilizad la notación científica y redondead adecuadamente. En la entrada deberán aparecer todos los culos que realicéis y sus desarrollos (no solo los resultados) Comparad el dato obtenido con el que marca la balanza, ¿hay discrepancia en los resultados? ¿A que se pueden deber las diferencias?

Antes de calcular el peso de las dos bolas, tenemos que tener claro que ecuación utilizar; P=m.g

Bola Plateada:   

Como podréis comprobar la masa de la bola plateada tiene una medida muy aproximada a la masa experimental, ya que hemos redondeado desde el principio. La masa experimental es de 68,5g

Bola Negra:

Al igual que con la bola plateada la masa de la bola negra es muy aproximada a la masa experimental, que es de 22,5 g

Desde nuestro punto de vista, el error podría estar en la precisión de la balanza o del dinamómetro, ya que solo puede medir hasta 1 newton, y cada subdivisión vale 0,02 Newtons.

Con un calibre hemos medido el diámetro de ambas esferas y como se puede observar en las imágenes (recuerda que las puedes guardar y ampliar) el resultado es idéntico pero, ¿cuál es el valor en cm? Aprende a hacer medidas con el calibre aquí.

4.- ¿Ya tenéis las medidas del diámetro de ambas esferas? Ni que decir tiene que entonces sabréis calcular el volumen de las mismas y por último con el dato experimental de la masa obtenido en el punto 2 podemos calcular la densidad de cada esfera (d=m/V) Recordad que hay que presentar los cálculos completos respetando las normas para las cifras significativas, utilizando la notación científica y aplicando los redondeos correctos.

En un alarde de esfuerzo investigador es posible que encontremos con qué materiales se corresponden las densidades obtenidas.

Hemos conseguido medir los diámetros de ambas bolas; 2,52cm de la plateada y 2,51 de la negra.

Los volúmenes (43· · r3) son:

Bola plateada: 43· · 1,26 cm3= 8,379155394689781667…cm3→ 8,38 cm3

Bola negra: 43· · 1,255cm3= 8,2797988618285753...cm3→ 8,28 cm3

Las densidades se calculan con la fórmula de densidad=masavolumen:

Bola plateada: d=68,5 g8,38 cm38,17g/cm3.  El error cometido puede variar 0,2 g/cm3

Disprosio d=8,55g/cm3    Terbio d=8,23g/cm3      Hierro d=7,87 g/cm3   Gadolinio d=7,9 g/cm3

La esfera plateada puede ser cualquiera de estos metales (más o menos) Aunque los que más se acercan son el Gadolinio y/o el Terbio. No sabría decir cual exactamente debido a que puede que haya errores experimentales, y hay que tenerlos en cuenta.

Bola negra:d=22,5 g8,28 cm32.72 g/cm3. El error puede ser 0,2 g/cm3

C d= 2,26 g/cm3    Al d=2,7g/cm3      Sc d= 2,99 g/cm3  Sr d=2,5 g/cm3    Si d=2,33 g/cm3

Si el dato resultante no tuviese error, claramente la esfera negra sería de aluminio, ya que sus densidades son prácticamente iguales. Pero en toda experiencia, se cometen tanto errores de redondeo y aproximación, como errores experimentales.

En conclusión, la bola plateada tiene una densidad aproximada de 8,17 g/cm3, y el material podría ser Terbio o Gadolinio, en la horquilla de 0,2 g/cm3. La bola negra, tiene de densidad 2,72 g/cm3 y podría ser según mis datos o Aluminio, o Escandio, o Estroncio.

5.Fuerza de empuje y conclusión

Los datos que hemos tomado en el vídeo son los siguientes:

-Bola negra: Peso en newtons de la bola fuera del agua: 0,22 Newtons.

                   Peso en newtons de la bola dentro del agua:0,14 Newtons

-Bola plateada:Peso en Newtons de la bola fuera del agua: 0,675 Newtons

                      Peso en Newtons de la bola dentro del agua:0,59 Newtons

Ahora vamos a calcular de forma teórica el empuje para ambas esferas.

El empuje debe ser igual al peso del volumen del fluido desalojado. Con lo cual como conocemos la masa y la densidad de las bolas y la densidad y el volumen del agua desalojada podemos calcular dicho empuje.

Empuje experimental de la bola negra:

E = Vfluido desalojado · d fluido· g

Vesfera= 4r3/3= 4·1,253 ·/3=8,16 cm3

E=8,16 cm3·1g/cm3·9,81m/s2=80,05·g·m/s2

80,05·m/s2=80,05 ·10-3 Kg·m/s2=0,08 Newtons

Las conclusiones que podemos sacar de los resultados experimentales del empuje, son que ambas bolas han “sufrido” el mismo empuje, es decir que al tener el mismo volumen han desalojado la misma cantidad de agua y por lo tanto el mismo empuje. Hemos comprobado que el empuje experimental y el empuje teórico no son exactamente iguales, pero si muy parecidos. Esto se debe a que en el experimental es muy probable que haya habido un pequeño error de medidas que haya alterado el resultado. Aún así podríamos concluir diciendo que el empuje de hacia arriba de estas dos bolas es de 0,08 Newtons.

Video:

Con este video que hemos hecho, pretendemos recrear lo que en su momento Arquímedes descubrió al bañarse en la bañera. Utilizando un simple tazón de leche (bañera) y una galleta(Arquímedes), queremos enseñar que el principio de Arquímedes se puede aplicar en las cosas más cotidianas. A la leche le añadimos la galleta y se comprueba que el volumen de leche que se desborda es igual al volumen de la galleta. Con esto queremos demostrar que es algo que nos encontramos todos los días, pero en lo que probablemente nunca nos habíamos parado a pensar.